Стаж работы рабочих цеха

Определить средний стаж рабочих цеха.

Средняя гармоническая представляет собой обратную величину средней арифметической из обратных величин. Она бывает простая и взвешенная.

— простая ,

взвешенная .

Средняя квадратическая используется в том случае, когда необходимо возводить варианты в квадрат:

простая ,

взвешенная .

Средняя квадратическая применяется в технике, для расчета среднего квадратического отклонения.

простая . Она применяется в том случае, когда интервалы времени между явлениями равны.

взвешенная . Она применяется в том случае, когда интервалы времени между явлениями неравны.

Свойства средней арифметической.

1. Средняя арифметическая из постоянных чисел равна этому постоянному числу.

Пусть х = a, тогда

.

2. Если веса всех вариантов пропорционально изменить, т.е. увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая нового ряда от этого не изменится. Пусть f уменьшим в к раз. Тогда .

3. Если все варианты уменьшить или увеличить на какое-либо число, то средняя арифметическая нового ряда уменьшится или увеличится на столько же.

Уменьшим все варианты х на , т.е. , тогда

.

Среднюю арифметическую первоначального ряда можно получить, прибавляя к средней арифметической нового ряда, ранее вычтенное из вариантов число a, т.е.

.

4. Если все варианты уменьшить в к раз, то средняя арифметическая нового ряда уменьшится в к раз.

Пусть , тогда .

Среднюю арифметическую первоначального ряда можно получить, увеличив среднюю арифметическую нового ряда в раз:

,

5. Сумма положительных и отрицательных отклонений отдельных вариантов от средней, умноженных на веса, равна нулю.

.

Перечисленные свойства позволяют в случае необходимости упрощать расчеты путем замены абсолютных частот относительными, уменьшать варианты на какое-либо число , сокращать их в раз и рассчитывать среднюю арифметическую из уменьшенных вариантов, а затем переходить к средней первоначального ряда. Способ исчисления средней арифметической с использованием ее свойств известен в статистике как способ «условного нуля» или «условной средней», а также как «способ моментов».

Этот способ расчета находит отражение в следующей формуле:

.

Если уменьшенные варианты обозначить через, то

.

Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду используется средняя арифметическая, мода и медиана.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. Медианойназывается численное значение признака, расположенное в середине ранжированного ряда, которое делит этот ряд на две равные по численности части. Для определения медианы сначала находят ее место в ряду по формуле , где n – число членов ряда (). Если число единиц чётное, то место медианы в ряду определяется как

Применяется мода при экспертных оценках, при установлении размера изделий, который пользуется наибольшим спросом (одежда, обувь), медиана используется при статистическом контроле качества продукции.

185.238.139.36 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

4.2. Средняя арифметическая Средняя арифметическая простая

Средняя арифметическая применяется, если известны значения осредняемого признака (х) и количество единиц совокупности с определенным значением признака (/).

Средняя арифметическая бывает простой и взвешенной.

Формула средней арифметической простой имеет вид;

гдех—значение осредняемого признака (варианта); п — число единиц изучаемой совокупности.

4.2. Средняя арифметическая

Студент Петров по результатам учебного семестра имеет следующие оценки: теория бухгалтерского учета — 4, экономическая статистика — 5, финансы, денежное обращение и кредит — 3, экономика фирмы — 2. Какова его средняя оценка по результатам семестра?

Поскольку каждая оценка встречается один раз, для расчета средней применяем формулу арифметической простой:

Общее число баллов 4 + 5 + 3 + 2 Число оценок

Перечисленные дисциплины студент Петров сдал в среднем на 3,5 балла.

Средняя арифметическая взвешенная

Средняя арифметическая взвешенная применяется, если каждое значение признака х встречается несколько раз, т.е. для каждого х значение признака/?* 1. Данная средняя широко используется при исчислении средней на основании дискретного ряда распределения:

где х — значение осредняемого признака;

/ — вес значения признака (частота, если / — число единиц совокупности; частость, если/ — доля единиц с вариантой х в общем объеме совокупности).

Имеются следующие данные о распределении бригад по уровню выработки продукции (табл. 4.1).

Распределение бригад по уровню выработки продукции за смену Бригады Выработка продукции в среднем на одного человека, шт. Число рабочих, чел. X / 1 ПО 12 2 120 10 ?3 130 14 4 140 8 Итого — 44 256

Глава 4. Средние величины в статистике

Определим сменную выработку рабочего в среднем по четырем бригадам. Введем строку условных обозначений, приняв за х значения осредняемого признака, /— число рабочих с данным значением х.

Исходные данные представлены в виде дискретного ряда распределения; каждое х встречается несколько раз, следовательно, применяем формулу средней арифметической взвешенной:

Выработка всеми рабочими Число рабочих

ПО-12+ 120-10+ 130-14+ 140-8 5460

В смену рабочий данных четырех бригад изготавливает в среднем 124 единицы продукции.

Расчет средней по интервальному ряду

Если исходные данные заданы в виде интервального ряда, то:

1) закрывают открытые интервалы, приняв их равными ближайшим закрытым;

2) за значения осредняемого признака х берут середины интервалов и строят условный дискретный ряд распределения:

где хн.г — значение нижней границы интервала («от»); хв.г — значение верхней границы интервала («до»).

3) расчет средней производится по средней арифметической взвешенной.

Имеются данные о распределении рабочих цеха по стажу работы:

Стаж работы, лет Доля рабочих, % к итогу До 5 10

Каков средний стаж работы рабочего данного цеха? Строим расчетную таблицу, обозначив долю рабочих через/:

257 Стаж работы, лет / X х/ До 5 (0-5) 10 2,5 25 5-10 44 7,5 330 10-15 30 12,5 375 15-20 10 17,5 175 20 и выше (20-25) 6 22,5 135 Итого 100 — 1040 Закрываем открытый интервал «до 5». Ширина ближайшего закрытого интервала равна 5 годам (5—10), следовательно, наш интервал примет вид от 0 до 5. Аналогично открытый интервал «20 и выше» примет вид 20-25, поскольку ширина ближайшего закрытого (15-20) равна 5.

Смотрите так же:  Заявление на сдачу больничного листа

Находим середину каждого интервала и принимаем ее за значение х.

Исчисляем значения х/ и сумму этих значений, необходимую для расчета средней арифметической взвешенной, заносим результаты в расчетную таблицу.

Определяем средний стаж рабочего:

Число отработанных лет всеми рабочими 1040 Число рабочих 100

Рабочий данного цеха отработал в среднем 10,4 года. Расчет средней по интервальному ряду распределения дает приближенный результат за счет того, что за значения х берутся не точные данные, а осредненные значения (середины интервалов).

Если интервальный ряд имеет равные интервалы или дискретный ряд построен с одним и тем же шагом между ближайшими значениями признака, для расчета средней применим способ «моментов». Алгоритм метода заключается в следующем:

1) строится новый дискретный ряд распределения, в котором одна из вариант приравнивается к нулю. К нулю можно приравнять любую варианту, но для упрощения расчетов лучше «занулить» варианту, находящуюся в середине ряда и имеющую наибольшую частоту. Нулевая варианта называется основанием и обозначается хо;

2) остальные варианты нового ряда обозначаютсях’ и рассчитываются по формуле:

где А — ширина равного интервала или шага; х’ — условные варианты;

Глава 4. Средние величины в статистике

3) определяется средняя по способу моментов:

где —— -гщ — момент первого порядка.

Определим среднюю сменную выработку рабочих бригад (см. табл. 4.1) способом моментов. Способ применим, поскольку в ряду распределения задан равный шаг (10 шт.).

За основание хо возьмем значение х\, равное 130 шт., поскольку оно расположено в середине ряда и имеет максимальную частоту (14 рабочих имеют данную выработку). Строим расчетную таблицу для нового ряда распределения с условными вариантами х’: X / X — Хй , х-хо х= И *’/ ПО 12 -20 -2 -24 120 10 -10 „1 -10 хо= 130 14 0 0 0 140 8 10 1 8, — 44 — — -26 Определим среднюю сменную выработку рабочего данных четырех бригад:

Аналогично можно найти средний стаж рабочего цеха по равноин-тервальному ряду распределения рабочих цеха по стажу (п-5 лет; хо = = 12,5 лет): X / х — хо , х-хо х’/ 2,5 10 -10 -2 -20 7,5 44 . -5 — _1 -44 хо=12,5 30 0 0 0 17,5 10 5 1 10 22,5 6 10 2 12 — 100 — — -42- 4.3. Средняя гармоническая

х = хо + —— /г = 12,5 + 1ЛА • 5 = 10,4 года.

Определить средний стаж работы рабочих цеха

Количество проданных акций

Курс продажи акций

Надо найти средний курс продаж (по таблице). Ищем по формуле средней арифметической взвешенной:

На практике часто допускаются ошибки при расчете средних величин, которые заключаются в игнорировании весов. Пример:

Заработная плата работников предприятия

Средняя з/п в руб.

Допустим, хотим посчитать среднюю з/п на всем предприятии.

=> эта формула неверна, т.к. не учитывает количество рабочих.

Использовать среднее арифметическое простое можно только тогда, когда точно установлено отсутствие весов или их равенство.

Рассмотрим расчет среднего арифметического по интервальному вариационному ряду.

Распределение работников предприятия по возрасту.

Для определения среднего возраста найдем середины возрастных интервалов. При этом величины открытых интервалов условно приравниваются к величинам примыкающих к ним интервалов. Т.о. получаем:

22,5 27,5 35 45 55 65

Далее применяем формулу для средней арифметической взвешенной:

Другие виды средних.

Часто используется средняя гармоническая взвешенная.

Пример:валовой сбор и урожайность зерновых культур по областям. Нужно определить среднюю урожайность – это общий валовой сбор зерна на общую посевную площадь.

где — урожайность,— валовой сбор.

§5. Показатели вариации и анализ частотных распределений.

Все показатели вариации можно разделить на три группы:

1) Показатели центра распределения: средняя арифметическая, мода, медиана.

2) Показатели степени вариации: вариационный размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, коэффициент вариации.

3) Показатели типа распределения: структурные характеристики, показатели ассиметрии, кривые распределения.

Модой распределения() называется такая величина изучаемого признака, который в данной совокупности встречается наиболее часто. Рассмотрим определение моды по не сгруппированным признакам.

Пример: рабочие бригады из 11 человек имеют следующие тарифные разряды:

5, 4, 3, 4, 5, 5, 6, 2, 6, 3, 5. =>

Модальный интервал, т.е. интервал содержащий моду, в случае интервального распределения с равными интервалами определяется по наибольшей частоте, с неравными интервалами – по наибольшей плотности. А мода определяется по формуле:

где — нижняя граница модального интервала; i – величина модального интервала;— частота модального интервала;— частота интервала предшествующего модальному;— частота интервала следующего за модальным.

В качестве характеристик вариационного ряда используется медиана().

Медиана – это величина изучаемого признака, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда. Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от других величин:

Если в вариационном ряду 2m+1 случаев, то =

Если в вариационном ряду 2m случаев, то

практически играет роль средней величины для неоднородной совокупности не подчиняющейся нормальному закону.

Пример:пусть нам необходимо дать характеристику среднего дохода группы людей из 100 человек, 99 из которых имеют доход от 100 до 200$ в месяц, а 1 — 50000$ в месяц.

Стаж работы рабочих цеха

Дата добавления: 2013-12-23 ; просмотров: 3043 ; Нарушение авторских прав

Средняя арифметическая простая; средняя арифметическая взвешенная; средняя гармоническая взвешенная; мода; медиана

Лекция 6. Теория средних величин

Основные понятия:

Средней величиной называется обобщающая характеристика совокупности однотипных общественных явлений по одному количественному признаку в определенных условиях места и времени.

При вычислении средних обобщающих показателей выявляются общие для данной совокупности типические размеры уровня того или иного признака и тем самым выявляются общие для нее типические черты и свойства.

Метод средних величин представляет собой особую форму статистического обобщения. Применение метода средних величин возможно только при наличии вариации признака у совокупности однородных явлений.

Средние величины могут быть как абсолютными, так и относительными (средняя заработная плата, средний процент выполнения плана).

Уровень признака у отдельных единиц совокупности складывается под влиянием разнообразных условий, одни из них являются общими для всех единиц, другие – случайными. В средней величине, исчисленной на основе данных о большом числе единиц, колебания в величине признака, вызванные случайными причинами, погашаются и проявляется общее свойство для всей совокупности. При осреднении все отклонения признака от среднего уровня уравновесились, т.е. произошло отвлечение (абстрагирование) от индивидуальных особенностей отдельных единиц, т.е. средняя величина абстрактна, и в этом заключается ее научная ценность.

Смотрите так же:  276 приказ минобразования

Средняя величина правильно характеризует однородные по своему содержанию совокупности. Такая средняя будет типичной, так как она отражает то общее, что характерно для данной совокупности общественных явлений.

Если же совокупность в целом по составу неоднородна, то для получения типичных средних необходимо с помощью метода группировок расчленить такую совокупность на однородные группы и после этого исчислить средние величины для каждой группы отдельно.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

Объективность и типичность статистической средней могут быть обеспечены лишь при определенных условиях. Первое условие состоит в том, что средняя должна вычисляться для качественно однородной совокупности. Второе условие – для исчисления средней должны быть использованы не единичные, а массовые данные, ибо только тогда взаимо погашаются возможные случайные отклонения.

Следует помнить о том, что чрезмерное увлечение средними показателями может привести к необъективным выводам при проведении анализа. Это связано с тем, что средние величины, будучи обобщающими показателями, погашают, игнорируют те различия в количественных признаках отдельных единиц совокупности, которые реально существуют и могут представлять самостоятельный интерес.

В статистике применяется несколько видов средних величин:

Эти средние относятся к классу степенных средних. Кроме них используются структурные средние – мода и медиана.

Средняя арифметическая – основной вид средних величин. Она может быть простой и взвешенной.

Средняя арифметическая простая исчисляется путем деления суммы значений признака на число значений.

,

где – средняя арифметическая;

– отдельные значения признака;

– число значений признака.

По состоянию на 14 октября имеются следующие данные о расходе металла 8 рабочими (кг): 17,2; 19,0; 20,0; 17,0; 18,0; 19,8; 18,0; 18,6 Для того чтобы определить средний расход металла на одного рабочего, необходимо общий расход металла разделить на число рабочих:

кг.

Если данные представлены в виде дискретного ряда распределения, то расчет средней производится по формуле средней арифметической взвешенной

,

где х – значение признака;

f – частота повторения соответствующего признака (веса).

3.2. Решение типовых задач

3.1. Имеются следующие данные о заработной плате рабочих участка:

Заработная плата каждого рабочего за квартал, грн.

1700; 1208; 917; 1620; 1400

Вычислить среднюю месячную заработную плату рабочих участка.

Процесс выбора средней таков: 1) определяющий показатель — общая сумма начисленной заработной платы; 2) математическое выражение определяющего показателя3) замена индивидуальных значений средними; 4) решение уравнения.

Следовательно, использовалась формула простой средней арифметической.

3.2. Распределение рабочих участка по стажу работы следующее:

Стаж работы, лет

Количество рабочих m

Определить средний стаж работы рабочих участка.

Условные обозначения записаны в таблице.

Определяющий показатель — общий стаж работы всех рабочих .-

Средний стаж работы –лет

Для каждого интервала предварительно вычислялось среднее значение признака как полусумма нижнего и верхнего значений интервала. Величина открытых интервалов приравнивается к величине примыкающих к ним соседних интервалов:

; ;;

Для решения задачи использовалась формула средней арифметической взвешенной.

3.3. За два месяца по цехам завода имеются следующие данные:

Средняя заработная плата, грн.

Средняя заработная плата, грн.

Фонд заработной платы грн.

Определить, за какой месяц и на сколько процентов была выше средняя месячная заработная плата работников предприятия.

Введем условные обозначения для сентября:

m — численность работников по каждому цеху;

x — средняя квартальная заработная плата работников каждого цеха.

Определяющий показатель — общий фонд заработной платы

Средняя квартальная заработная плата работников предприятия за 1 квартал составила:

грн.

Условные обозначения для 2 квартала следующие:

М — фонд заработной платы по каждому цеху;

x— средняя квартальная заработная плата работников каждого цеха.

Определяющий показатель

Средняя квартальная заработная плата работников предприятия за 2 квартал равна (грн.):

грн.

-численность работников каждого цеха во втором квартале.

Средняя заработная плата во втором квартале исчислена по формуле средней взвешенной гармонической.

Динамика средней квартальной заработной платы работников предприятия:

или 100,3%

Следовательно, средняя квартальная заработная плата работников предприятия во 2 квартале повысилась на 0,3% по сравнению с 1-м.

3.4. Имеются следующие данные об экспорте продукции металлургического комбината:

Определить средний стаж работы рабочих цеха

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №3 .

Расчёт степенных средних величин .

— область применения и методику расчёта степенных средних величин;

— исчислять степенные средние величины;

— формулировать вывод по полученным результатам.

Средней величиной называется обобщающая величина статистической совокупности, выражающая типический уровень изучаемого признака. Она выражает величину признака, отнесённую к единице совокупности.

К степенным средним относятся средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя хронологическая, средняя геометрическая, средняя квадратическая , средняя кубическая.

Средняя величина всегда обобщает количественную вариацию признака, т. е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия признака у отдельных единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. Средняя величина позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям.

Принципы применения средних величин:

1) Необходим обоснованный выбор признака у единиц совокупности, для которого рассчитывается средняя.

2) При определении средней величины в каждом конкретном случае следует исходить из качественного содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков и особенность имеющихся исходных данных;

3) Средняя величина должна, прежде всего, рассчитываться по однородной совокупности. Однородную совокупность позволяет получить метод группировки.

4) Общие средние должны подкрепляться групповыми средними.

5) Средняя величина не может быть меньше минимального значения и больше максимального значения признака в совокупности.

Область применения и методика расчёта степенных средних величин:

1. Средняя арифметическая

1.1 Средняя арифметическая простая .

При небольшом объёме исходной информации, когда исходные данные не сгруппированы, применяется средняя арифметическая простая, которая рассчитывается по формуле:

n — число значений.

Например: В бригаде четверо рабочих в возрасте 21, 22, 23 и 24 года. Средний возраст рабочего бригады составляет

1.2 Средняя арифметическая взвешенная.

Когда исходные данные сгруппированы, то расчёт средней производится по

формуле средней арифметической взвешенной:

где fi – частота ряда распределения, с которой отдельные варианты встречаются в совокупности (или удельный вес отдельных значений во всей совокупности).

Например : Рабочие бригады по возрасту распределились следующим образом:

Возраст рабочих, лет ( X)

Численность рабочих, чел. ( fi )

Средний возраст рабочего бригады составляет

Если исходная информация представлена в виде интервального ряда распределения, то средняя арифметическая взвешенная определяется по формуле:

Смотрите так же:  Приказ по увольнению в связи со смертью

где Xc — центральное (серединное) значение признака в интервале.

Например: По имеющимся данным определить средний стаж рабочего бригады:

Стаж работы, лет

Численность рабочих, чел. ( fi )

Для расчёта средней арифметической взвешенной интервального ряда распределения определим центральное (серединное) значение признака в каждом интервале. Среднее значение интервала находится как полусумма нижней границы данного интервала и нижней границы следующего интервала:

Стаж работы, лет

Оформим исходные данные а следующем виде:

Стаж работы, лет

Численность рабочих, чел. ( fi )

Средний стаж рабочего бригады составляет

Если в интервальном ряду распределения имеются «открытые» интервалы, то для установления центральных (серединных) значений «открытых» интервалов на каждый из них условно распространяется величина смежного «закрытого» интервала.

Например : Работники организации по величине заработной платы за январь 2010 года распределились следующим образом:

Группы работающих по величине

заработной платы за январь 2010 года, тыс .р уб.

Определить по имеющимся данным среднюю зарплату работников организации.

Для расчёта средней арифметической взвешенной интервального ряда распределения определим центральное (серединное) значение признака в каждом интервале. На каждый открытый интервал условно распространим величину смежного закрытого интервала:

Группы работающих по величине заработной платы за январь 2010 года, тыс .р уб.

Центральное (серединное) значение интервала

Частоты при расчете средних арифметических могут быть выражены не только абсолютными величинами, но и относительными величинами – частостями Результаты применительно к одинаковым вариантам будут совпадать. В данном примере численность работников выражена не частотами, а частостями – удельными весами численности отдельных групп во всей совокупности, что не влияет на порядок расчёта средней.

Средняя зарплата работников организации составляет:

Необходимо небольшое пояснение применительно к расчету средней в интервальных рядах распределения. В действительности распределение отдельных вариантов в пределах интервала может оказаться неравномерным. В этом случае середина интервала будет в той или иной степени отличаться от фактической средней по интервалу. Это в свою очередь может повлиять на правильность общей средней, исчисленной по данным интервального ряда. Степень расхождения зависит от ряда причин. Во-первых, от числа вариант, чем больше число вариант, тем вероятнее, что середина интервала будет мало отличаться от групповой средней. Во-вторых, от величины интервала. Если интервал невелик, то ошибка будет незначительной, т.к. групповая средняя будет мало отличаться от середины интервала. В-третьих, от характера распределения. Чем симметричнее распределение, тем ошибка меньше. В-четвертых, размер ошибки зависит от принципа построения интервального ряда. При равных интервалах середина интервала будет ближе к средней по данной группе. При наличии открытых интервалов расхождение, как правило, взрастает из-за условного обозначения неизвестных границ. Общая средняя равна средней из частных (групповых) средних, взвешенных по численности соответствующих частей совокупности. Это правило имеет большое значение для всей статистики – организации сбора и обработки данных, их анализа.

Свойства средней арифметической:

1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты. Другими словами, постоянный множитель может быть вынесен за знак средней.

2. Если от каждой варианты отнять (прибавить) какое-либо произвольное число, то новая средняя уменьшится (увеличится) на то же число:

3. Если каждую варианту умножить (разделить) на какое-то произвольное число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько раз

4. Если все частоты (веса) разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится. Дело в том, что веса при исчислении средней арифметической выполняют роль удельного веса (соотношений между группами по количеству единиц). Поэтому замена частот частостями не меняет значения средней .

5. Сумма отклонений отдельных вариантов от средней арифметической всегда равняется нулю.

Перечисленные свойства могут быть использованы для того, чтобы облегчить технику исчисления средней арифметической.

Например. Можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину (лучше значение серединной варианты или варианты с наибольшей частотой), полученные разности сократить на общий множитель (лучше на величину интервала), а частоты выразить частостями (в процентах) и исчисленную среднюю умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную величину. Иногда этот способ расчета средней арифметической также называется способом расчета от условного нуля. Широкое применение для обработки статистических материалов современных ЭВМ сужает необходимость исчисления средних по упрощенным схемам.

2. Средняя гармоническая

2.2 Средняя гармоническая простая. Если объёмы явлений, т.е. произведения Х i × fi по каждой единице равны, то для расчёта средней применяется формула средней гармонической простой:

Например: Две автомашины прошли один и тот же путь: первая со скоростью 60 км/ч , вторая со скоростью 80 км/ч . Определить среднюю скорость движения автомашины.

2.2 Средняя гармоническая взвешенная. Учитывая, что средние выражают качественные свойства изучаемых явлений, важно правильно выбрать вид средней исходя из взаимосвязей явлений и признаков. Когда статистическая информация не содержит частот ( fi ) у отдельных вариант ( X ), а представлена как их произведение Mi =( Xi × fi ), то для расчёта средней применяется формула средней гармонической взвешенной:

Например: По имеющимся данным о продаже хлеба « Дарницкий » определить среднюю цену одной булки хлеба